De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Re: Smallest

Ik ben erg blij met uw antwoord, want u verwijst naar hetzelfde artikel als ik bedoelde. Toch nog dit: vanuit die moebiustransformatie komt hij tot die merkwaardige formule met arctangenhyperbolicus. Kan u uitleggen hoe men aan die formule komt?

Antwoord

Laten we even op de $x$-as kijken: als $a$ en $b$ op de x-as liggen, voor het gemak even met $0 < a < b$, is hun onderlinge afstand bepaald door $(b-a)/(1-ba)$, let wel: bepaald door, niet gelijk aan (daar glijdt de webpagina een beetje uit).

Nu willen we dat de onderlinge afstand van $a$ en $b$ gelijk is aan het verschil van de afstanden tussen $0$ en $b$, en tussen $0$ en $a$. We moeten dus een functie $F$ bedenken zó dat $F(b)-F(a) = F(\frac{b-a}{1-ab})$.

Nu is het zo dat $\tanh$ voldoet aan
$$\tanh(x-y)=\frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}
$$Als we $x=\operatorname{artanh}{}b$ en $y=\operatorname{artanh}{}a$ nemen dan kunnen we de bovenstaande formule omwerken tot
$$\operatorname{artanh}{}b - \operatorname{artanh}{}a = \operatorname{artanh}{}\left(\frac{b-a}{1-ab}\right)
$$Dus die functie werkt prima. De factor $2$ is cosmetisch, elk (positief) veelvoud van de functie levert een metriek.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Statistiek
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	20-5-2024